Hàm số và các bài toán liên quan

II. Cực trị hàm số

Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn 1 điều kiện cho trước là một trong những dạng bài toán hay gặp trong phần khảo sát hàm số. Những bài toán nằm trong câu hỏi phụ của khảo sát hàm số hết sức đa dạng và trong đó cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán phổ biến nhất.

CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 3

Bài toán tổng quát: Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ ( $a \ne 0,\;a,b,c,d$ phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu (cực trị) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tính $y’ = 3a{x^2} + 2bx + c, y’ = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} +2bx + c = 0$ (1)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ (1) có hai nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta (\Delta ') \ne 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (2)

Bước 2:
Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (2) và kết luận.
Một số điều kiện thường gặp:

Để hàm số $y = f(x)$ có 2 cực trị $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ {\Delta _{y'}} > 0 \end{array} \right.$
Để hàm số $y = f(x)$ có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành $\Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$
Để hàm số $y = f(x)$ có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y_{CD}} + {y_{CT}} < 0\\ {y_{CD}}.{y_{CT}} < 0 \end{array} \right.$
Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: $Ax +By +C = 0$

Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (2) và kết luận.
Một số điều kiện thường gặp:

Gọi ${M_1}({x_1};{y_1})$ và ${M_2}({x_2};{y_2})$ là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

Gọi ${t_1}$ và ${t_2}$ là các giá trị khi thay ${M_1}$ và ${M_2}$ vào đường thẳng d:

${t_1} = A{x_1} + B{y_1} + C$ ; ${t_2} = A{x_2} + B{y_2} + C$

Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía của đường thẳng d:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' = 0\\ {t_1}{t_2} < 0 \end{array} \right.$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ .

Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu ở cùng phía của đường thẳng d:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' = 0\\ {t_1}{t_2} > 0 \end{array} \right.$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ .

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên. Với các điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2(3{m^2} - 1)x + \frac{2}{3}$ (3), với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị $m$ để đồ thị hàm số (3) có hai điểm cực trị ${x_1}$ và ${x_2}$ sao cho ${x_1}{x_2}+2({"x_1}+{x_2})=1$ .

Giải:

Ta có $y' = 2{x^2} - 2mx - 2(3{m^2} - 1)$ $= 2\left[ {{x^2} - mx - (3{m^2} - 1)} \right]$ . Để đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {x^2} - mx - (3{m^2} - 1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = {m^2} + 4(3{m^2} - 1) > 0$ $\Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0$ $\Leftrightarrow m < \frac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }}$ hoặc $m > \frac{2}{{\sqrt {13} }}$ (4)

Gọi ${x_1}, {x_2}$ là hai nghiệm của $y'=0$ . Theo định lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = m\\ {x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2} \end{array} \right.$

Theo giả thiết ${x_1}{x_2}+2({x_1}+{x_2})=1$ $\Leftrightarrow - (3{m^2} - 1) + 2m = 1$ $\Leftrightarrow 3{m^2} - 2m = 0$ $\Leftrightarrow m= 0$ (loại) hoặc $m = \frac{2}{3}$ (thỏa mãn điều kiện (4).

Vậy đáp số là $m = \frac{2}{3}$

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + ({m^2} - 3)x$ . Tìm tất các các giá trị của $m$ để hàm số có x_CĐ và x_CT đồng thời x_CĐ và x_CT là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt {\frac{5}{2}}$ .

Giải:

Ta có $y' = {x^2} - mx + {m^2} - 3$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0$ (5)

Hàm số có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow$ phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4({m^2} - 3) > 0$ $\Leftrightarrow - 3{m^2} + 12 > 0$ $\Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0$ $\Leftrightarrow - 2 < m < 2$ (6)

x_CĐ và x_CT là hai nghiệm của (5) và là hai cạnh của tam giác vuông $\Rightarrow$ x_CĐ > 0; x_CT> 0 $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{CĐ}}{x_{CT}} > 0\\ {x_{CĐ}} + {x_{CT}} > 0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 3 > 0\\ m > 0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow m > \sqrt 3$ (7)

x_CĐ và x_CT là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt {\frac{5}{2}}$

$\Rightarrow x_{CĐ}^2 + x_{CT}^2 = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow {({x_{CĐ}} + {x_{CT}})^2} - 2{x_{CĐ}}{x_{CT}} = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow {m^2} - 2({m^2} - 3) = \frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow m = \pm \sqrt {\frac{7}{2}}$