5. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp giản đồ Fre - nen
I. Vectơ quay
Khi điểm M chuyển động tròn đều thì vectơ vị trí $\overrightarrow {OM} $ quay đều với cùng tốc độ góc ω. Khi ấy x=Acos(ωt+φ) là phương trình của hình chiếu của vectơ quay $\overrightarrow {OM} $ lên trục x. Dựa vào đó đưa ra cách biểu diễn phương trình của dao động điều hòa bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu như hình minh họa sau:
Vectơ quay có những đặc điểm sau đây:
- Có gốc tại gốc tọa độ của trục Ox
- Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A;
- Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác).
II. Phương pháp giản đồ Fre-nen
1. Đặt vấn đề
Phương pháp giản đồ Fre-nen thường được dùng để tìm li độ của dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số nhưng khác biên độ dao động sau đây:
x1=A1cos(ωt+φ1)
x2=A2cos(ωt+φ2) với A1 ≠ A2
2. Phương pháp giản đồ Fre-nen
- Vẽ hai vectơ quay ${\overrightarrow {OM} _1}$ và ${\overrightarrow {OM} _2}$, vẽ vectơ ${\overrightarrow {OM}}$ là tổng của hai vectơ trên như hình vẽ.
x1=A1cos(ωt+φ1)
x2=A2cos(ωt+φ2) với A1 ≠ A2
suy ra, x=Acos(ωt+φ)
Vậy, dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó.
- Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp được tính bằng các công thức sau đây:
${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})$$\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}cos{\varphi _1} + {A_2}cos{\varphi _2}}}$
3. Ảnh hưởng của độ lệch pha
Từ công thức trên ta thấy biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào các biên độ A1, A2 và độ lệch pha (φ2-φ1) của các dao động thành phần.
Nếu các dao động thành phần cùng pha, tức ∆φ=φ2-φ1=2nπ, (n=0, ±1, ±2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là lớn nhất và bằng tổng hai biên độ: A=A1+A2.
Nếu hai dao động thành phần ngược pha, tức ∆φ=φ2-φ1=(2n+1)π, (n = 0, ±1, ±2,...), thì biên độ dao động tổng hợp là nhỏ nhất: A=|A1–A2|.
4. Ví dụ
Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
x1=3cos(5πt) (cm)
${x_1} = 4\cos (5\pi t + \frac{\pi }{3}) $ (cm)Giải: Ta vẽ hai vectơ quay ${\overrightarrow {OM} _1}$ và ${\overrightarrow {OM} _2}$ biểu diễn hai dao động thành phần tại thời điểm ban đầu. 
Áp dụng hai công thức:
${A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})$
$A = {\sqrt {{3^2} + {4^2} + 2.3.4.\cos {{60}^o}} ^{}} $
$= 6,08 \approx 6,1\ cm$
$\tan \varphi = \frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}cos{\varphi _2}}}$
$= \frac{{0 + 4\sin {{60}^o}}}{{3 + 4\cos {{60}^o}}} = 0,6928$
$ \Rightarrow \varphi = 34,{7^o} \approx 0,19\pi $
Vậy phương trình của dao động tổng hợp là:
$x = 6,1\cos (5\pi t + 0,19\pi )$ (cm)
